Question

7．已知函数f（x）=axe^x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x+b．
（1）求实数a，b的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-x²-2x，求函数g（x）的单调区间；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数k，使得对于任意的x∈（-∞，0），都有g（x）≤kx恒成立？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，根据切线方程求出a，b的值即可；
（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为k≤$\frac{2x{•e}^{x}{-x}^{2}-2x}{x}$=2e^x-x-2，设函数h（x）=2e^x-x-2，x∈（-∞，0），求出h（x）的导数，得到单调区间，求出h（x）的最大值，从而求出k的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）=axe^x，得f′（x）=a（x+1）e^x，
则f（0）=0，f′（0）=a，
故y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=ax，
由题意可知，a=2，b=0．
（2）由g（x）=2xe^x-x²-2x，得g′（x）=2（x+1）e^x-2x-2=2（x+1）（e^x-1），
令g′（x）=0，得x=-1，或x=0，
当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（-1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
故函数g（x）的增区间为（-∞，-1）和（0，+∞），减区间为（-1，0）．
（3）由题意知，?x∈（-∞，0），2xe^x-x²-2x≤kx恒成立，
即?x∈（-∞，0），k≤$\frac{2x{•e}^{x}{-x}^{2}-2x}{x}$=2e^x-x-2，
设函数h（x）=2e^x-x-2，x∈（-∞，0），则h′（x）=2e^x-1，
令h′（x）=0，可得x=-ln2，
当x∈（-∞，-ln2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（-ln2，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
故当x=-ln2时，h（x）取得最小值为h（-ln2）=ln2-1．
所以k≤ln2-1，即存在实数k∈（-∞，ln2-1]，使得对于任意的x∈（-∞，0），
都有g（x）≤kx恒成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．