Question

6．已知袋子中装有红色球1个，黄色球1个，黑色球n个（小球大小形状相同），从中随机抽取1个小球，取到黑色小球的概率是$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）若红色球标号为0，黄色球标号为1，黑色球标号为2，现从袋子中有放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．
（ⅰ）记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；
（ⅱ）在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x²+y²＞（a-b）²恒成立”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）从中随机抽取1个小球，取到黑色小球的概率是$\frac{1}{3}$，列出方程．求解n的值；
（Ⅱ）（ⅰ）求出从袋子中现从袋子中有放回地随机抽取2个小球的所有事件个数，满足“a+b=2”为事件A的个数，然后求解概率；
（ⅱ）直接利用几何概型，求解全部结果的区域面积与所求结果的区域面积，求解概率即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意$\frac{n}{n+2}=\frac{1}{3}$，得n=1
（Ⅱ）（ⅰ）记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，
则取出2个小球的可能情况有：（s，t），（s，k），（t，s），（t，k），（k，s），（k，t），（s，s），（t，t），（k，k），共9种，
其中满足“a+b=2”的有3种：（s，k），（k，s）（t，t）．
所以所求概率为$P（A）=\frac{1}{3}$
（ⅱ）记“x²+y²＞（a-b）²恒成立”为事件B．
则事件B等价于“x²+y²＞4恒成立”，（x，y）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，
而事件B构成的区域为B={（x，y）|x²+y²＞4，（x，y）∈Ω}．
所以所求的概率为P（B）=$\frac{S_B}{S_Ω}$=1-$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查古典概型以及几何概型的概率的求法，基本知识的考查，属于中档题．