Question

14．在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，BC=3，则AB+AC的长可表示为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$）
• B． 6sin（B+$\frac{π}{3}$）
• C． 4$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）
• D． 6sin（B+$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 由正弦定理可得：AB=2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B），AC=2$\sqrt{3}$sinB，利用三角函数恒等变换的应用化简即可得解．

解答 解：在△ABC中，∵A=$\frac{π}{3}$，BC=3，∴C=$\frac{2π}{3}$-B，
∴由正弦定理得：$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$=$\frac{3}{sin\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，整理得：AB=2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B），AC=2$\sqrt{3}$sinB，
∴AB+AC=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）+2$\sqrt{3}$sinB=2$\sqrt{3}$×[sin（$\frac{2π}{3}$-B）+sinB]=2$\sqrt{3}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{3}{2}$sinB）=6sin（B+$\frac{π}{6}$）．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．而余弦定理在使用时一般要求两边有平方和的形式．