定义:如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上.那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形.且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心．如图.在平面直角坐标系xOy中.设椭圆$\frac{x^2}{4}$+y2=1的所有内接菱形构成的集合为F．(1)求F中菱形的最小的面积,(2)是否存在定圆与F中的菱形都相切?若存在.求出定圆的方程,若不存在.说明理由,(3)当菱形的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心．
如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1的所有内接菱形构成的集合为F．
（1）求F中菱形的最小的面积；
（2）是否存在定圆与F中的菱形都相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由；
（3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条边所在的直线的方程．

分析（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出当菱形ABCD的对角线在坐标轴上时的面积；当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上时，设直线AC的方程为：y=kx，则直线BD的方程为：$y=-\frac{1}{k}x$，联立直线方程和椭圆方程，求得OA、OB，代入菱形面积公式，转化为关于k的函数，再由基本不等式求最值；
（2）设原点到菱形任一边的距离为d，结合（1）利用等积法求得d为定值，说明存在定圆与F中的菱形都相切，并求得圆的方程；
（3）设菱形的一边AD的方程为$y=t（{x-\sqrt{3}}）$，化为一般式，由（2）结合点到直线的距离公式求得t得答案．

解答解：（1）如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当菱形ABCD的对角线在坐标轴上时，其面积为$4×\frac{1}{2}×2×1=4$；
②当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上时，设直线AC的方程为：y=kx，
则直线BD的方程为：$y=-\frac{1}{k}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得${x_1}^2=\frac{4}{{4{k^2}+1}}$，${y_1}^2=\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$，
从而$O{A^2}={x_1}^2+{y_1}^2=\frac{{4（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+1}}$，
同理可得，$O{B^2}={x_2}^2+{y_2}^2=\frac{{4[{{{（{-\frac{1}{k}}）}^2}+1}]}}{{4{{（{-\frac{1}{k}}）}^2}+1}}=\frac{{4（{k^2}+1）}}{{{k^2}+4}}$，
∴菱形ABCD的面积为2×OA×OB=$8\sqrt{\frac{{{k^4}+2{k^2}+1}}{{4{k^4}+17{k^2}+4}}}$=$4\sqrt{\frac{{{k^4}+2{k^2}+1}}{{{k^4}+\frac{17}{4}{k^2}+1}}}$
=$4\sqrt{1-\frac{{\frac{9}{4}{k^2}}}{{{k^4}+\frac{17}{4}{k^2}+1}}}$=$4\sqrt{1-\frac{9}{{4（{{k^2}+\frac{1}{k^2}}）+17}}}$$≥4\sqrt{1-\frac{9}{{4×2\sqrt{{k^2}×\frac{1}{k^2}}+17}}}$=$\frac{16}{5}$．
（当且仅当k=±1时等号成立），
综上得，菱形ABCD的最小面积为$\frac{16}{5}$；
（2）存在定圆${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$与F中菱形的都相切．
设原点到菱形任一边的距离为d，下面证明：$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$．
证明：由（1）知，当菱形ABCD的对角线在坐标轴上时，$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上时，
${d^2}=\frac{{O{A^2}×O{B^2}}}{{O{A^2}+O{B^2}}}$=$\frac{{\frac{{4（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+1}}×\frac{{4（{k^2}+1）}}{{{k^2}+4}}}}{{\frac{{4（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+1}}+\frac{{4（{k^2}+1）}}{{{k^2}+4}}}}$=$\frac{{4{{（{k^2}+1）}^2}}}{{（{k^2}+1）（{k^2}+4）+（{k^2}+1）（4{k^2}+1）}}$
=$\frac{{4{{（{k^2}+1）}^2}}}{{（{k^2}+1）（5{k^2}+5）}}=\frac{4}{5}$，即得$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$．
综上，存在定圆${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$与F中的菱形都相切；
（3）设直线AD的方程为$y=t（{x-\sqrt{3}}）$，即$tx-y-\sqrt{3}t=0$，
则点O（0，0）到直线AD的距离为$\frac{{|{\sqrt{3}t}|}}{{\sqrt{{t^2}+1}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
解得$t=±\frac{{2\sqrt{11}}}{11}$，
直线AD的方程为$y=±\frac{{2\sqrt{11}}}{11}（{x-\sqrt{3}}）$．