Question

15．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-7≤0}\\{x-3y+1≤0}\\{3x-y-5≥0}\end{array}$，则z=$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{29}{10}$
• C． $\frac{25}{12}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用换元法将条件转化为直线斜率，结合线性规划的知识进行求解即可得到结论．

解答 解：z=$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$，
设k=$\frac{y}{x}$，则z=k+$\frac{1}{k}$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则由图象知OC的斜率最小，OA的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-7=0}\\{x-3y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（5，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-7=0}\\{3x-y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$．即A（3，4），
则OC的斜率k=$\frac{2}{5}$，OA的斜率k=$\frac{4}{3}$，
则$\frac{2}{5}$≤k≤$\frac{4}{3}$，
∵z=k+$\frac{1}{k}$，在$\frac{2}{5}$≤k≤1上递减，在1≤k≤$\frac{4}{3}$上递增，
∴当k=$\frac{2}{5}$时，z=$\frac{2}{5}$+$\frac{5}{2}$=$\frac{29}{10}$，
当k=$\frac{4}{3}$时，z=$\frac{4}{3}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{25}{12}$＜$\frac{29}{10}$，
故z的最大值为$\frac{29}{10}$，
故选：B

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用换元法将条件转化为直线斜率是解决本题的关键．