Question

平面上动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M（4，0）的直线与点P的轨迹交于A，B两点，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

考点：与直线有关的动点轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设P（x，y），由已知平面上动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，利用抛物线的定义，可求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与抛物线方程联立，利用向量的数量积公式化简可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知平面上动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，
∴点P满足抛物线定义，点P的轨迹为焦点在x轴正半轴的抛物线，p=2，
∴点P的轨迹方程为y²=4x．　　　　　　　　　　　　　　…（5分）
（Ⅱ）若直线AB的斜率不存在，则AB直线方程为：x=4，
A（4，4），B（4，-4），

OA

•

OB

=4×4-4×4=0
若直线AB的斜率存在，设为k，
则AB直线方程为：y=k（x-4），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-4) y2=4x

得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
则k≠0，△=64k²+16＞0恒成立，
x1+x2=

8k2+4

k2

，x1•x2=16，
y1•y2=k(x1-4)k(x2-4)=k2[x1x2-4(x1+x2)+16]=-16，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=16-16=0
综上，

OA

•

OB

=0．　　　　　　　　　　　　　　…（12分）

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．