Question

已知递增的等比数列{a_n}前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列．
（1）求等比数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a_n+2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等比数列前三项分别为a₁，a₂，a₃，
则a₁+1、a₂+2、a₃+2又成等差数列．依题意得：

a1a2a3=8 2(a2+2)=(a1+1)+(a3+2)

，
即

a1•a1q•a1q2=8 2(a1q+2)=a1+1+a1•q2+2

，
解之得

a1=1 q=2

，或

a1=4 q= 1 2

（数列{a_n}为递增等比数列，舍去），
∴数列{a_n}的通项公式：an=2n-1．
（2）由b_n=a_n+2n得，bn=2n-1+2n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2⁰+2×1）+（2¹+2×2）+（2²+2×3）+…+（2^n-1+2n）
=（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）+2（1+2+3+…+n）
=

20(1-2n)

1-2

+2×

n(1+n)

2

=2n+n2+n-1．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．