Question

16．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，$\sqrt{3}$sin Ccos C-cos²C=$\frac{1}{2}$，且c=3．
（1）求角C；
（2）若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sin A）与$\overrightarrow{n}$=（2，sin B）共线，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，结合范围2C-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$）可求的C的值．
（2）利用向量共线的性质可得sin B-2sin A=0，由正弦定理，得b=2a，结合余弦定理即可解得a，b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\sqrt{3}$sinCcosC-cos²C=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2C-$\frac{1+cos2C}{2}$=$\frac{1}{2}$，可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2C-$\frac{1}{2}$cos2C=1，
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，…（3分）
∵0＜C＜π，可得：2C-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$）
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$．…（5分）
（2）∵m与n共线，
∴sin B-2sin A=0，
由正弦定理，得b=2a，①…（7分）
∵c=3，由余弦定理，得9=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=a²+b²-ab，②…（8分）
联立方程①②，得：a=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，向量共线的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．