Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的直角坐标方程，并求时直线的普通方程；

（2）若直线和曲线交于两点，点的直角坐标为，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由，可得，两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程，由直线的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；

（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程，化为关于的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时的几何意义求解即可．

解：（1）因为，得

∴黄线的直角坐标方程为

当时，直线过定点，斜率.

∴直线的普通方程为，即

（2）把直线的参数方程为代入，

得.

设、的参数分别为，所以，，则与同号，

，则，即

得或

∴

∴的最大值为