Question

已知圆心为的圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点且被圆截得的线段长为，求直线的方程；
（3）是否存在斜率是1的直线，使得以被圆所截得的弦EF为直径的圆经过
原点？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）;（2）或；（3）不存在．

试题分析：（1）用两点的距离公式求出圆的半径，就可写出圆的标准方程；（2）法一：由圆的弦长可求得圆心到直线的距离，再用点斜式设出所求直线的方程，应用待定系数法：由点到直线的距离公式，就可求出所求直线的斜率，从而就可求得所求的直线方程，只是一定要注意：斜率不存在情形的讨论；法二：设出直线的斜率，写出直线方程，与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，应用韦达定理及弦长公式，就可用斜率的代数式将弦长表示出来，从而获得关于斜率的方程解之即得；一样也需考虑斜率不存在情形；（3）法一：假设所求直线存在，先用斜截式设出其方程，并用m的式子表示出弦EF的中点坐标，再画出图形，由以弦EF为直径的圆经过原点知，再作勾股定理即可获得关于m的方程，解此方程，有解则存在，并可写出对应直线方程，无解则不存在；法二：将直线方程与圆方程联立，消元，再用韦达定理，将条件应用向量知识转化为，然后将韦达定理的结论代入即可获得关于m的方程，解此方程，有解则存在，并可写出对应直线方程，无解则不存在．
试题解析：（1）圆的半径为,        1分
∴圆的标准方程为.            3分
（2）方法一 如图所示，设直线与圆交于两点，且是的中点，则， 且，

∵圆的半径为4，即
∴在中，可得，即点到直线的距离为2．           4分
（i）当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为,即．           5分
由点到直线的距离公式得：=2，解得.
∴此时直线的方程为.            7分
（ii）当直线的斜率不存在时，直线的方程为.
将代入得，，
∴,,
∴方程为的直线也满足题意.
∴所求直线的方程为或.         8分
方法二：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为,即.---4分
联立直线与圆的方程:,          5分
消去得      ①
设方程①的两根为,
由根与系数的关系得        ②
由弦长公式得|x₁-x₂|==4   ③
将②式代入③，并解得，
此时直线的方程为.            7分
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
仿方法一验算得方程为的直线也满足题意.
∴所求直线的方程为或.           8分
（3）方法一：假设存在直线满足题设条件，设的方程为,
则的中点是两直线与的交点,即,          10分
∴.
∵以为直径的圆经过原点，
∴，
∴，  12分
又∵，，
∴，化简得，
∵方程没有实数解，
∴不存在满足题设条件的直线．                14分
方法二： 假设存在直线满足题设条件，并设的方程为，点，点,
联立直线与圆的方程,          9分
消去得 
由根与系数的关系得      ④      11分
∵以为直径的圆经过原点，
∴.
若、中有一点在轴上，则另一点必在轴上，而在圆的方程中令可得无实数解，故本情况不会出现．    --------12分
∴即，
∴，
化简得: ，        13分
以④代入并化简得 
∵方程没有实数解，
∴不存在满足题设条件的直线．               14分