Question

3．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）面OC₁D∥面AB₁D₁．

Answer 1

分析 （1）线面平行，只需要证明线线平行．连接A₁C₁交于O₁．连接AO₁只需要证明AO₁∥C₁O即可．
（2）面面平行，只需要证明一个平面内条的两条相交直线与平面平行即可，B₁D₁∥BD，AO₁∥C₁O，
BD∩C₁O=O，那么可证得面OC₁D∥面AB₁D₁．

解答 解：（1）由题意：几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，O是底ABCD对角线的交点，
∴B₁D₁∥BD，
连接A₁C₁交于O₁，连接AO₁，
$A{O}_{=}^{∥}$C₁O₁
∴C₁O₁AO是平行四边形．
∴AO₁∥C₁O．
∵AO₁?面AB₁D₁；
∴C₁O∥面AB₁D₁；
得证．
（2）．∵B₁D₁∥BD，即OD∥B₁D₁，
OD?面OC₁D，
∴OD∥面AB₁D₁．
由（1）可得C₁O∥面AB₁D₁；
OD∩C₁O=O，
所以：面OC₁D∥面AB₁D₁．

点评 本题考查了线面平行和面面平行的证明．线面平行转化为线线平行；面面平行转化为线面平行．属于基础题．