Question

15．（1）求函数f（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{2-x}$的定义域；
（2）求函数f（x）=$\frac{{2-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{2-x≠0}\end{array}\right.$，求解可得函数定义域；
（2）由已知函数分离常数可得f（x）=-1+$\frac{3}{1+{x}^{2}}$，又1+x²≥1，得0＜$\frac{3}{1+{x}^{2}}≤3$，不等式两边同时加-可求出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）要使函数f（x）有意义，
则$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{2-x≠0}\end{array}\right.$，解得x≥1且x≠2，
∴函数的定义域为：[1，2）∪（2，+∞）；
（2）f（x）=$\frac{{2-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$=-1+$\frac{3}{1+{x}^{2}}$，
∵1+x²≥1，∴0＜$\frac{1}{1+{x}^{2}}≤1$，
则0$＜\frac{3}{1+{x}^{2}}≤3$，
∴-1＜-1+$\frac{3}{1+{x}^{2}}$≤2，
即函数f（x）=$\frac{{2-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$的值域为：（-1，2]．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查函数的值域的求法，属基础题．