Question

13．已知实数x，y满足x-$\sqrt{x+1}$=$\sqrt{y+1}$-y，则x+y的取值范围是[-$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$+1]．

Answer 1

分析 先对等式进行变形化简，然后利用$\frac{x+y}{2}≤\sqrt{\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}}$求出x+y的范围．

解答 解：∵x-$\sqrt{x+1}$=$\sqrt{y+1}-y$
∴x+y=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{y+1}$≤2$\sqrt{\frac{x+1+y+1}{2}}$=2$\sqrt{\frac{x+y+2}{2}}$
两边平方知：（x+y）²≤2（x+y+2）
解得：-$\sqrt{5}$+1≤x+y≤$\sqrt{5}+1$
故答案为：[-$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$+1]

点评 本题主要考查了不等式运算以及整体换元知识点，属中等题．