Question

6．已知数列{a_n}的首项a₁=3，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）写出数列{a_n}的前5项，并归纳猜想{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中所猜想的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推关系，代值计算即可，
（Ⅱ）用数学归纳法证明：当n=1时，去证明等式成立；假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 解：（Ⅰ）a₁=3；a₂=2a₁+1=7；a₃=2a₂+1=15；a₄=2a₃+1=31；a₅=2a₄+1=63．
由此归纳猜想出数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^{n+1}}-1$．
（Ⅱ）证明：当n=1时，${a_1}={2^{1+1}}-1=3$，显然成立．
假设当n=k（k∈N*）时成立，即有${a_k}={2^{k+1}}-1$，
则${a_{k+1}}=2{a_k}+1=2×（{2^{k+1}}-1）+1={2^{k+2}}-1={2^{（k+1）+1}}-1$．
显然，当n=k+1时也成立．
故${a_n}={2^{n+1}}-1$．

点评 本题的考点是数学归纳法，主要考查数学归纳法的第二步，在假设的基础上，n=k+1时等式左边增加的项，关键是搞清n=k时，等式左边的规律，从而使问题得解，属于中档题．