Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线椭圆于另一点，点在直线上，且．若，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由椭圆经过点A（2，0）和（1，3e），列出方程组，求出a＝2，b，c＝1，由此能求出椭圆的方程；

（2）设直线l的方程是y＝k（x﹣2），联立方程组，求出点B坐标，点M的坐标为（1，﹣k），由MF1⊥BF2，即可求出直线l的斜率．

（1）因为椭圆经过点和点，

所以

解得， 所以椭圆的方程为．

（2）由（1）可得，

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x-2)

由方程组 消去y，

整理得，

解得x=2或，所以B点坐标为．

由OM=OA知，点M在OA的中垂线x=1上，

又M在直线l上，所以M点坐标为(1,-k)．

所以，．

若，则．

解得，所以，即直线l的斜率．