Question

【题目】求证 ：直角坐标平面上的格点凸七边形（每个顶点均为格点———纵 、横坐标均为整数的点）的内部最少包含四个格点.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

首先，不妨设格点凸七边形的各边的内部都没有格点（否则，如的内部有一个格点，则用七边形代替原来的七边形，由于格点个数有限，故这种过程一定会在某一步终止）.

其次，任何五个格点或五个顶点的坐标按奇偶性分类，至多有四类：（奇，奇），（偶，偶），（奇，偶），（偶，奇），因而，必有五个顶点中的某两个点属于同一类，这两点的中点也是格点，且点M在凸七边形的内部.

考虑这五个格点，其中某两点的中点也是格点，且点在七边形的内部.

同理，由格点五边形（若为的中点，则取格点五边形）可确定另一个格点也在七边形的内部，如图所示.

直线将平面分为两部分，其中必有某一侧至少含有格点凸七边形的三个顶点.不妨设在的同一侧，则由凸五边形可知，七边形的内部还有第三个格点.

（1）若的另一侧也含有七边形的三个顶点，同理可得第四个格点.

（2）若的另一侧至多含两个顶点和，则、在直线上或与在的同一侧，这时，又有两种情况：

（ⅰ）若点不在内，则、、、、组成凸五边形，又可得到一个格点（第四个）；

（ⅱ）若点在内（或边上），则、、、、组成凸（非凹）五边形，可得到第四个格点（注：若、在同一侧，、与、、在同侧，则考虑五边形）.

另一方面，容易举出一个例子，使得七边形的内部恰有四个格点.