Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$ccos A=（2b-$\sqrt{3}$a）cosC．
（1）求角C；
（2）若A=$\frac{π}{6}$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，D为AB的中点，求sin∠BCD．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得：2sinBccosC=$\sqrt{3}$sinB，由sinB≠0，可求cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合C的范围可求C的值．
（2）利用三角形内角和定理可求B，利用三角形面积公式可求a，在△DBC中，利用余弦定理可求CD，在△DBC中，由正弦定理可得sin∠BCD的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，∵$\sqrt{3}$ccos A=（2b-$\sqrt{3}$a）cosC，可得：2bccosC=$\sqrt{3}$（ccosA+acosC），
∴由正弦定理可得：2sinBccosC=$\sqrt{3}$（sinCcosA+sinAcosC）=$\sqrt{3}$sinB，
∵sinB≠0，
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{6}$…6分
（2）∵A=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{6}$，可得：△ABC为等腰三角形，B=$\frac{2π}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$a²sinB=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴a=2，
∴在△DBC中，由余弦定理可得：CD²=DB²+BC²-2DB•BCcosB=7，可得：CD=$\sqrt{7}$，
在△DBC中，由正弦定理可得：$\frac{CD}{sinB}=\frac{DB}{sin∠BCD}$，即：$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{sin∠BCD}$，
∴sin∠BCD=$\frac{\sqrt{21}}{14}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．