Question

4．如图是某企业2010年至2016年污水净化量（单位：吨）的折线图．

注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程，预测2017年该企业污水净化量；
（3）请用数据说明回归方程预报的效果．
附注：参考数据：$\overline{y}$=54，$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=21，$\sqrt{14}$≈3.74，$\sum_{i=1}^{7}$（y_i-$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$ ）²=$\frac{9}{4}$．
参考公式：相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$，回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{a}$+$\stackrel{∧}{b}$t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$．
反映回归效果的公式为R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$，其中R²越接近于1，表示回归的效果越好．

Answer 1

分析 （1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为8，代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量；
（3）求出R²，可得结论．

解答 解：（1）由题意，$\overline{t}$=4，$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=21，
∴r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$=$\frac{21}{\sqrt{28×18}}$≈0.935，
∵0.935＞0.75，
故y与t之间存在较强的正相关关系；
（2）$\overline{y}$=54，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{21}{28}$=$\frac{3}{4}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$=54-$\frac{3}{4}×4$=51，
∴．y关于t的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{3}{4}$t+51，
t=8，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{3}{4}×8+51$=57，预测2017年该企业污水净化量约为57吨；
（3）R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=1-$\frac{1}{18}×\frac{9}{4}$≈0.875，
∴企业污水净化量的差异有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．

点评 本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．