Question

已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，其中O坐标原点．

（1）求弦AB的长；

（2）求三角形ABO的面积．

Answer 1

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（1）设直线L的方程为y=（x﹣1），与抛物线方程联立得关于x的一元二次方程，可得x₁+x₂值，再根据抛物线定义即可求得弦长；

（2）由点到直线的距离公式可得点O到直线AB的距离d，三角形OAB的面积为S=|AB|•d；

解答：

解：（1）由题意得：直线L的方程为y=（x﹣1），

代入y²=4x，得：3x²﹣10x+3=0．

设点A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），则：，

由抛物线定义得：弦长|AB|=x1+x2+p=+2=；

（2）点O到直线AB的距离d==，

所以三角形OAB的面积为S=|AB|•d=×=．

点评：

本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的性质与方程，属中档题．