Question

已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，其中O坐标原点．
（1）求三角形ABO的重心坐标；
（2）求三角形ABO的面积．

Answer 1

分析：（1）直线L的方程为y=

3

(x-1)代入y²=4x得：3x²-10x+3=0，解出其A、B两点横坐标的和与积，算出两点纵坐标的和，用重心坐标公式求出三角形ABO的重心坐标；
（2）由抛物线的性质求出弦长及点O到直线AB的距离，求出面积．

解答：解：（1）由题意得：直线L的方程为y=

3

(x-1)
代入y²=4x得：3x²-10x+3=0（3分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则：x1+x2=

10

3

，x₁x₂=（15分）
从而y1+y2=

3

(x1+x2-2)=

4 3

3

（7分）
∴△ABO的重心坐标x=

x1+x2+0

3

=

10

9

y=

y1+y2+0

3

=

4 3

9

故三角形ABO的重心坐标为(

10

9

，

4 3

9

)（8分）
（2）由（1）及抛物线的定义得：弦长|AB|=x1+x2+p=

10

3

+2=

16

3

又点O到直线AB的距离d=

|- 3 |

3+1

=

3

2

（12分）
所以三角形OAB的面积为S=

1

2

|AB|•d=

4 3

3

．（14分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解答本题关键是掌握三角形的重心坐标公式以及直线与圆锥曲线相交时两交点的坐标表示，弦长公式与点到直线距离公式的熟练使用也很重要．