Question

已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，其中O坐标原点．
（1）求弦AB的长；
（2）求三角形ABO的面积．

Answer 1

分析：（1）设直线L的方程为y=

3

（x-1），与抛物线方程联立得关于x的一元二次方程，可得x₁+x₂值，再根据抛物线定义即可求得弦长；
（2）由点到直线的距离公式可得点O到直线AB的距离d，三角形OAB的面积为S=

1

2

|AB|•d；

解答：解：（1）由题意得：直线L的方程为y=

3

（x-1），
代入y²=4x，得：3x²-10x+3=0．
设点A（x₁，x₁），B（x₂，y₂），则：x1+x2=

10

3

，
由抛物线定义得：弦长|AB|=x1+x2+p=

10

3

+2=

16

3

；
（2）点O到直线AB的距离d=

|- 3 |

3+1

=

3

2

，
所以三角形OAB的面积为S=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

16

3

×

3

2

=

4 3

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的性质与方程，属中档题．