Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=CD=

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2

AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,余弦定理

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，证明BC⊥AC，BC⊥PC，利用线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAC；
（2）证明AB∥MN，利用M为线段PA的中点，可得N为线段PB的中点，即可得出结论．

解答： （1）证明：连结AC．不妨设AD=1．
因为AD=CD=

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2

AB，所以CD=1，AB=2．
因为∠ADC=90°，所以AC=

2

，∠CAB=45°．
在△ABC中，由余弦定理得BC=

2

，所以AC²+BC²=AB²．
所以BC⊥AC．                  …（3分）
因为PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥PC．  …（5分）
因为PC?平面PAC，AC?平面PAC，PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC．                                …（7分）
（2）解：如图，因为AB∥DC，CD?平面CDMN，AB?平面CDMN，
所以AB∥平面CDMN．    …（9分）
因为AB?平面PAB，
平面PAB∩平面CDMN=MN，
所以AB∥MN．           …（12分）
在△PAB中，因为M为线段PA的中点，
所以N为线段PB的中点，
即PN：PB的值为

1

2

．      …（14分）

点评：本题考查线面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．