题目内容
【题目】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若AP＝2AB，求证：BE⊥平面PCD．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）欲证BE∥平面PAD，而BE平面EBM，可先证平面EBM∥平面APD，取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形∴EM∥PD，BM∥AD BM∩EM=M，满足面面平行的判定；（2）取PD的中点F，连接FE，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC
试题解析：（1）取PD的中点F，连结AF，FE，
又∵E是PC的中点，
∴在△PDC中，EF∥DC，且EF＝
，
由条件知AB∥DC，且AB＝
，∴ EFAB，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，
又AF平面PAD，BE平面PAD，∴BE∥平面PAD．
（2）由（1）FE∥DC，BE∥AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AF，DC⊥PD，∴EF⊥AF，
在Rt△PAD中，∵AD＝AP，F为PD的中点，∴AF⊥PD，
又AF⊥EF且PD∩EF＝F，∴AF⊥平面PDC，
又BE∥AF，∴BE⊥平面PDC．
【题目】在某省举办的娱乐节目“快乐向前冲”的海选过程中设置了几名导师，负责对每批初选合格的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在
内的选手可以参加“待定”赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．
（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手的成绩平均数和中位数；
（2）根据已有的经验，参加“待定”赛的选手能够进入第二轮比赛的概率如下表：
参赛选手成绩所在区间 |
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每名选手能够进入第二轮的概率 |
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假设每名选手能否通过“待定”赛相互独立，现有4名选手的成绩分别为（单位：分）43，45，52，58，记这4名选手在“待定”赛中通过的人数为随机变量
，求
的分布列和数学期望．
