题目内容
【题目】如果
的定义域为
，对于定义域内的任意
，存在实数
使得
成立，则称此函数具有“
性质”．给出下列命题：
①函数
具有“性质”；
②若奇函数
具有“
性质”，且
，则
；
③若函数具有“
性质”， 图象关于点
成中心对称，且在
上单调递减，则在
上单调递减,在
上单调递增；
④若不恒为零的函数同时具有“
性质”和 “
性质”，且函数
对
，都有
成立，则函数是周期函数．
其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
【答案】①③④
【解析】
试题分析：由题意得，①
，所以函数
具有“
性质”，所以是正确的；②因为奇函数
，具有“
性质”，所以
，所以
，周期为
，因为
，所以不正确；③因为函数
具有“
性质”，所以
，所以
关于
对称，即
，因为图象关于点
对称，所以
，即
，所以函数
为偶函数，因为图象关于点成中心对称，且在
上单调递减，所以图象也关于点成中心对称，且在
上单调递减，根据偶函数的对称得出，在
上单调递增，所以是正确的；④因为“
性质”和“
性质”，所以
，
所以
为偶函数，且周期为
，因为函数
，对
，都有
成立，所以
必是周期函数，所以是正确的，故选①③④．
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