Question

已知数列{b_n}是等差数列，b₁＝1，b₁＋b₂＋…＋b₁₀＝145.

(1) 求数列{b_n}的通项公式b_n；

(2) 设数列{a_n}的通项a_n＝log_a (其中a＞0且a≠1)．记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n＋1的大小，并证明你的结论.

Answer 1

解：(1) 设数列{b_n}的公差为d，

由题意得

∴ b_n＝3n－2.

(2) 由b_n＝3n－2，知

而log_ab_n＋1＝log_a，于是，比较S_n与log_ab_n＋1的大小

比较的大小 .

① 当n＝1时，已验证(^*)式成立；

② 假设n＝k(k≥1)时(^*)式成立，即

则当n＝k＋1时，

从而(1＋1) 即当n＝k＋1时，(^*)式成立．由①②知(^*)式对任意正整数n都成立．于是，当a＞1时，S_n＞log_ab_n＋1，当 0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n＋1.