题目内容

已知sin（α+
π
3
）=
1
3
，且满足α∈[-
π
3
，
π
6
]，则cos2α的值是
4
6
-7
18
4
6
-7
18
．
分析：由α的范围求出α+
π
3
的范围，利用同角三角牌函数间的基本关系求出cos（α+
π
3
）的值，由cosα=cos[（α+
π
3
）-
π
3
]，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入求出cosα的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，计算即可求出cos2α的值．
解答：解：∵α∈[-
π
3
，
π
6
]，
∴α+
π
3
∈[0，
π
2
]，
∵sin（α+
π
3
）=
1
3
，
∴cos（α+
π
3
）=
1-(
1
3
)2
=
2
2
3
，
∴cosα=cos[（α+
π
3
）-
π
3
]=cos（α+
π
3
）cos
π
3
+sin（α+
π
3
）sin
π
3
=
2
2
3
×
1
2
+
1
3
×
3
2
=
2
2
+
3
6
，
则cos2α=2cos2α-1=2×（
2
2
+
3
6
）2-1=
4
6
-7
18
．
故答案为：
4
6
-7
18
点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
练习册系列答案
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已知sin（3π+α）=lg
1
310
，则
cos(π+α)
cosα[cos(π-α)-1]
+
cos(α-2π)
cosαcos(π-α)+cos(α-2π)
的值为
 
．
已知sin（
3π
2
+α）=
1
3
，且α为第二象限角，则tan（α+π）=
 
．
已知sin(
2π
3
-α)+sinα=
4
3
5
，则sin(α+
7π
6
)=
-
4
5
-
4
5
．
已知sin（α-3π）=2cos（α-4π）．
（1）求tanα的值；　　
（2）求
sin(π-α)+5cos(2π-α)
2sin(
3π
2
-α)-sin(-α)
的值．
（1）已知sin（α-3π）=2cos（α-4π），求
sin(π-α)+5cos(2π-α)
2sin(
3π
2
-α)-sin(-α)
；
（2）化简
tan(π-α)cos(2π-α)sin(-α+
3π
2
)
cos(-α-π)sin(-π-α)
．

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