Question

2．（1）已知实数x，y满足：|x-y|＜1，|2x+y|＜1求证：|y|＜1；
（2）已知a＞b＞c＞d，求证：$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-d}$≥$\frac{9}{a-d}$．

Answer 1

分析 （1）通过变形、利用绝对值不等式计算可得结论；
（2）通过a-b＞0、b-c＞0、c-d＞0及（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-d}$）[（a-b）+（b-c）+（c-d）]，利用基本不等式计算即得结论．

解答 证明：（1）∵3|y|=|3y|
=|（2x+y）-2（x-y）|
≤|2x+y|+2|x-y|
＜1+2
=3，
∴|y|＜1；
（2）∵a＞b＞c＞d，
∴a-b＞0，b-c＞0，c-d＞0，
∴（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-d}$）（a-d）=（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-d}$）=[（a-b）+（b-c）+（c-d）]
≥3$\root{3}{\frac{1}{a-b}•\frac{1}{b-c}•\frac{1}{c-a}}$•3$\root{3}{（a-b）（b-c）（c-d）}$
=9，
∴$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-d}$≥$\frac{9}{a-d}$．

点评 本题考查不等式的证明，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．