Question

12．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a²tanB=b²tanA．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若sin²C=sin²A+sin²B+$\frac{2}{3}$sinAsinB，求cos（2A-$\frac{π}{6}$）的值；
（3）是否存在△ABC，使cos²A+cos²B+cos²C=1，若存在，求出所有满足条件的A值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据同角三角函数的基本关系与正弦定理化简题中的等式，可得sinAcosA=sinBcosB，由二倍角的正弦公式算出sin2A=sin2B，再利用诱导公式得出A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，从而可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．
（2）由正弦定理可得：c²=a²+b²+$\frac{2}{3}$ab，结合余弦定理可得：cosC，由（1）可得A=B，可求cos2A，sin2A的值，利用两角差的余弦函数公式即可求值cos（2A-$\frac{π}{6}$）．
（3）由（1）可得：A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，分类讨论cos²A+cos²B+cos²C=1，解得A的值即可．

解答 解：（1）∵a²tanB=b²tanA，
∴a²•$\frac{sinB}{cosB}$=b²•$\frac{sinA}{cosA}$．
根据正弦定理，可得sin²A•$\frac{sinB}{cosB}$=sin²B•$\frac{sinA}{cosA}$，
化简整理，得sinAcosA=sinBcosB，
∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B，
又∵A、B∈（0，π），
∴2A=2B或2A=π-2B，解得A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
因此可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．
（2）∵sin²C=sin²A+sin²B+$\frac{2}{3}$sinAsinB，
∴由正弦定理可得：c²=a²+b²+$\frac{2}{3}$ab，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{3}$．
∴由（1）可得A=B，可得：cos2A=cos（π-C）=-cosC=$\frac{1}{3}$，sin2A=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A+$\frac{1}{2}$sin2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$．
（3）存在△ABC，使cos²A+cos²B+cos²C=1，
由（1）可得：A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
若A+B=$\frac{π}{2}$，使cos²A+cos²B+cos²C=1，则有：cos²A+cos²B=1，A，B为锐角，
故只要当A=B=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{π}{2}$时，存在△ABC，使cos²A+cos²B+cos²C=1，
若A=B，则cos²A+cos²B+cos²C=2cos²A+cos²（π-2A）=4cos⁴A+1-2cos²A=1，解得：cos²A=$\frac{1}{2}$，即cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故A=$\frac{π}{4}$，
综上，故当A=B=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{π}{2}$时，存在△ABC，使cos²A+cos²B+cos²C=1．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题．