Question

(本小题满分15分)如图，已知抛物线上点到焦点的距离为3，直线交抛物线于两点，且满足。圆是以为圆心，为直径的圆.

(1)求抛物线和圆的方程；

(2)设点为圆上的任意一动点，求当动点到直线的距离最大时的直线方程.

 

Answer 1

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意得=，得，得到抛物线和圆的方程；

（2）设，联立方程整理得，

由韦达定理得 ，进一步

由得结合上式整理得，而得，

故直线过定点.

而圆上动点到直线距离的最大值可以转化为圆心到直线距离的最大值再加上半径长,求得，.

试题解析：（1）由题意得=，得 1分

所以抛物线和圆的方程分别为：； 2分

4分

（2）设

联立方程整理得 6分

由韦达定理得 ① 7分

则

由得即

将①代入上式整理得 9分

由得

故直线AB过定点 11分

而圆上动点到直线距离的最大值可以转化为圆心到直线距离的最大值再加上半径长

由得 13分

此时的直线方程为，即 15分

考点：1.抛物线的几何性质；2.圆的方程；3.直线与 抛物线的位置关系.