题目内容
我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：
已知抛物线
上的点
到焦点的距离等于4，直线
与抛物线相交于不同的两点
、
，且
（
为定值）．设线段
的中点为
，与直线平行的抛物线的切点为
．.
（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；
（2）用
、
表示出点、点的坐标，并证明
垂直于
轴；
（3）求
的面积，证明的面积与、无关，只与有关.
已知抛物线
上的点
到焦点的距离等于4，直线
与抛物线相交于不同的两点
、
，且
（
为定值）．设线段
的中点为
，与直线平行的抛物线的切点为
．.
（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；
（2）用
、
表示出点、点的坐标，并证明
垂直于
轴；（3）求
的面积，证明的面积与、无关，只与有关.（1）
，
，
，（2）
，
，（3）
.
，
，
，（2）
，
，（3）
.试题分析：（1）由抛物线定义得：
，即
，因此抛物线方程为，焦点坐标，准线方程为．（2）因为D点为直线与抛物线的交点A，B中点，所以求D点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由
，得
，
，点.因为C点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别式为零进行求解，即由
,得
，得.由于、的横坐标相同，
垂直于轴．（3）求三角形面积，必须观察结构，合理选用底边与高.本题将CD选为底,则
为高，利用（1）求出
，则
.的面积与、无关，只与有关．试题解析：（1）
，得，抛物线方程为． 2分焦点坐标
，准线方程为． 4分（2）由
，得，点
6分设切线方程为
，由,得，
，切点的横坐标为
，得 8分由于
、的横坐标相同，垂直于轴． 10分（3）
，
． 12分． 15分的面积与、无关，只与有关． 16分（本小题也可以求
，切点到直线
的距离
，相应给分）
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与分别在
轴、
轴上的动点
满足：
,动点
满足
．
两点，直线
与直线
分别交于点
（
为坐标原点）；
为直径的圆的位置关系；
是否为定值？并证明你的结论.
轴对称，它的顶点在坐标原点，点
、
、
均在抛物线上.
与
的斜率存在且倾斜角互补时，求
的值及直线
的斜率.
，直线
，
为平面上的动点，过点
的垂线，垂足为点
，且
．
的方程；
与曲线
，且与直线
相交于点
，试探究：在坐标平面内是否存在一个定点
，使得以
为直径的圆恒过此定点
上一点
到直线
的距离与到点
的距离之差的最大值为（ ）
的焦点为F，其准线与双曲线
相交于
两点，若
为等边三角形，则
．
的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B两点,直线AF,BF分别于抛物线交于点C,D.设直线AB,CD的斜率分别为
，则
( )
B.
C.1 D.2
的焦点作直线l交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线
,则
与
的交点P的轨迹方程是（ ）
