Question

已知定点与分别在轴、轴上的动点满足：,动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于两点，直线与直线分别交于点（为坐标原点）；
（i）试判断直线与以为直径的圆的位置关系；
（ii）探究是否为定值？并证明你的结论.

Answer 1

（1）；（2）（i）相切；（ii）为定值，且定值为0.证明过程见解析.

试题分析：（1）假设P点坐标，由，，经向量的坐标运算，易得P的轨迹方程. （2）（i）A，B，两点到准线的距离与到焦点距离相等，又是方程的准线，结合图形，易得直线与圆相切. （ii）假设过F点的直线方程AB为 与抛物线方程联立，求得A，B两点坐标.写出OA，OB所在直线方程，求出与的交点坐标，转化为向量的坐标运算，可知=0
试题解析：
解：（1）设动点的坐标为,则     1分
又，由得   2分
即亦即         3分
代入即得：动点的轨迹的方程为：    4分
（2）由（1）知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线,设直线的方程为；点的坐标分别为.
(i)设两点到准线的距离分别为,则,
设的中点到准线的距离为，          5分
则     7分
直线与以为直径的圆相切.                8分
（注：直接运算得到正确结果同样给分）
(ii)由得，          10分
的方程为，即由得点的坐标为，
同理可得点的坐标为，                     11分

于是          12分
因此为定值，且定值为0.                    13分