Question

8．已知点M为抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$上任意一点，点N为圆C：（x-3）²+y²=2上任意一点，则|MN|的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． 不能确定

Answer 1

分析 求出|MC|的最小值，再减去半径，即可求出|MN|的最小值．

解答 解：设M（x，y），则
|MC|=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+（\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}）^{2}}$，
令f（x）=（x-3）²+（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$）²，∴f′（x）=2（x-3）+2（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$）×x=x³+5x-6=（x-1）（x²+x+6），
∴x＞1，f′（x）＞0，x＜1，f′（x）＜0，
∴x=1时，函数有最小值8，
∴|MC|有最小值2$\sqrt{2}$，
∴|MN|的最小值为2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查两点间距离公式的运用，考查导数知识的运用，属于中档题．