Question

19．已知数列满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}+1}$，求通项a_n．

Answer 1

分析 由已知得1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）²，从而lg（1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）=2lg（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），由此可得数列lg（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）是公比为2，首项为lg2的等比数列，求其通项公式后得答案．

解答 解：：∵a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{2}{{a}_{n}}+1$=（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）²
∴lg（1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）=2lg（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴$\frac{lg（1+\frac{1}{{a}_{n+1}}）}{lg（1+\frac{1}{{a}_{n}}）}=2$．
∵a₁=1，
∴lg（1+1）=lg2，
∴数列lg（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）是公比为2，首项为lg2的等比数列，
则lg（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=2^n-1•lg2，
∴1+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$1{0}^{lg{2}^{{2}^{n-1}}}$=${2}^{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{{2}^{n-1}}-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查数列的通项公式的求法，解题时要注意构造法的合理运用．是中档题．