Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，则2sinA-sinC的取值范围为$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，又A+B+C=π，可得B=$\frac{π}{3}$．因此2sinA-sinC=2$sin（\frac{2π}{3}-C）$-sinC=$\sqrt{3}cosC$，由于$C∈（0，\frac{2π}{3}）$，即可得出．

解答 解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，
又A+B+C=π，∴B=$\frac{π}{3}$．
∴2sinA-sinC=2$sin（\frac{2π}{3}-C）$-sinC=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC）-sinC$=$\sqrt{3}cosC$，
∵$C∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴cosC∈$（-\frac{1}{2}，1）$，
∴$\sqrt{3}cosC$∈$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$．
∴2sinA-sinC的取值范围为$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$．
故答案为：$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了等差数列、三角形内角和定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．