Question

19．已知平面向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（sinx，2sinx）（x∈R），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1．
（1）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到g（x），求函数g（x）的最小正周期以及对称轴方程；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积和三角函数运算可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），由图象变换可得g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{7π}{12}$），易得周期和对称轴；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]结合三角函数的性质可得取值范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（sinx，2sinx），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1=2sinxcosx+2sin²x-1
=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∵将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到g（x），
∴g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{7π}{12}$），
∴函数g（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2x-$\frac{7π}{12}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{13π}{24}$，
∴对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{13π}{24}$，k∈Z；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
∴函数f（x）的取值范围为[-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属中档题．