Question

1．已知两个集合A={x|m＜$\frac{1-x}{x}$}，B={x|log${\;}_{\frac{1}{2}}$x＞2}p：实数m为小于5的正整数，q：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．
（1）若p是真命题，求A∩B；
（2）若p且q为真命题，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由p为真命题，得0＜m＜5，m∈N₊，分别化简集合A，B．当0＜m＜4，m∈N₊时，B⊆A，可得A∩B=B．当m=4时，A⊆B，A∩B=A，即可得出．
（2）由p且q为真命题，可得p为真命题，q为真命题，即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，因此集合B是集合A的真子集，即可得出．

解答 解：（1）由p为真命题，得0＜m＜5，m∈N₊，
则集合A={x|m＜$\frac{1-x}{x}$}=$\{x|0＜x＜\frac{1}{m+1}\}$．
又B={x|lo${g}_{\frac{1}{2}}$x＞2}={x|$0＜x＜\frac{1}{4}$}．
当0＜m＜4，m∈N₊时，B⊆A，
∴A∩B=B={x|$0＜x＜\frac{1}{4}$}．
当m=4时，A⊆B，所以A∩B=A=$\{x|0＜x＜\frac{1}{5}\}$．
（2）∵p且q为真命题，
∴p为真命题，q为真命题，
即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
∴集合B是集合A的真子集，
∴$\frac{1}{m+1}＞\frac{1}{4}$且0＜m＜5，m∈N₊，
解得：m=1或m=2．

点评 本题考查了简易逻辑的判定、集合的运算性质、不等式的解法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．