题目内容
已知函数f（x）=
sin（ωx+ϕ），（0＜ϕ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为
．
（Ⅰ）求f（
）的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移
个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．
| 3 |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）求f（
| π |
| 8 |
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移
| π |
| 6 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）由余弦函数为偶函数，确定Φ=kπ+
，k∈Z，0＜Φ＜π，可确定Φ的值；又y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为
，从而求得ω，写出f（x），再求f（
）的值；
（Ⅱ）f（x）=
cos2x⇒g（x）=f（x-
），再由余弦函数的减区间，即可得g（x）的单调递减区间．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
（Ⅱ）f（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
解答：
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=
sin（ωx+ϕ）为偶函数，
∴Φ=kπ+
，k∈Z，
∵0＜ϕ＜π，∴Φ=
，
又函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为
．
则
=
，T=π．
则ω=
=2，
则f（x）=
sin（2x+
）=
cos2x，
∴f（
）=
cos
=
．
（Ⅱ）由知f（x）=
cos2x，
∴g（x）=
cos2（x-
）=
cos（2x-
）．
由2kπ≤2x-
≤2kπ+π，解得kπ+
≤x≤kπ+
，
∴g（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）．
| 3 |
∴Φ=kπ+
| π |
| 2 |
∵0＜ϕ＜π，∴Φ=
| π |
| 2 |
又函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为
| π |
| 2 |
则
| T |
| 2 |
| π |
| 2 |
则ω=
| 2π |
| T |
则f（x）=
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3 |
∴f（
| π |
| 8 |
| 3 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）由知f（x）=
| 3 |
∴g（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 3 |
由2kπ≤2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴g（x）的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，及图象变换，考查函数的奇偶性与周期性，重点考查三角函数的平移变换与单调性，属于中档题．
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