Question

设a＞0，a≠1，函数f（x）=log_a|ax²-x|在[3，4]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：画出函数t=|ax²-x|的图象，由题意可得，当a＞1时，t=|ax²-x|在[3，4]上是增函数，有3＞

1

a

，或4

1

2a

，当 1＞a＞0时，t=|ax²-x|在[3，4]上是减函数，有

1

2a

≤3，且4＜

1

a

，分别求出a的取值范围，再取并集．

解答： 解：令|ax²-x|=t，则 t＞0，故 x≠0 且 x≠

1

a

，如图所示：
由题意可得，当a＞1时，t=|ax²-x|在[3，4]上是增函数，
应有3＞

1

a

，或4

1

2a

，解得 a＞1．
当 1＞a＞0时，由题意可得 t=|ax²-x|在[3，4]上是减函数，

1

2a

≤3，且4＜

1

a

，解得

1

6

≤a＜

1

4

．
综上，a＞1或

1

6

≤a＜

1

4

．

点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，求复合函数的单调区间，体现了数形结合的数学思想．