Question

已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）切线方程为. 
（Ⅱ）当时，的单调增区间是和，单调减区间是；
当时，的单调增区间是；
当时，的单调增区间是和，单调减区间是.
（Ⅲ）.

解析试题分析：（Ⅰ）切线的斜率，等于在切点的导函数值.
（Ⅱ）通过“求导数，求驻点，讨论各区间导数值的正负”，确定函数的单调区间。本题应特别注意讨论，，时的不同情况.
（Ⅲ）在区间上恒成立，只需在区间的最小值不大于0.
试题解析：（Ⅰ）因为，,
所以,                                1分
，,                                         3分
所以切线方程为.                                        4分
（Ⅱ）,                5分
由得,                                      6分
当时，在或时，在时,
所以的单调增区间是和，单调减区间是；         7分
当时，在时，所以的单调增区间是；   8分
当时，在或时，在时.
所以的单调增区间是和，单调减区间是.         10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知在区间上只可能有极小值点，
所以在区间上的最大值在区间的端点处取到，             12分
即有且,
解得.                                14分
考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值.