Question

已知
(1) 求函数上的最小值；
(2) 若对一切恒成立,求实数的取值范围；
(3) 证明:对一切,都有成立.

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：(1)对函数求导，通过导数研究函数的单调性，再讨论的范围，以便得到在上的单调性.从而得到函数的最小值；（2）由题意得到，即.再通过导数研究在上的单调性，从而得，要想对一切恒成立,则；（3）问题等价于证明，由（1）可以得的最小值是，当且仅当时取到.再构造函数，通过导数研究单调性，由单调性研究函数的最大值. 对一切，都有成立,即证明要小于函数的最小值.在本问中，尽管二者相等，但因为不同时取到，故仍可满足题中的不等式.
试题解析：（1），
当单调递减，当单调递增
①，即时， ；
②，即时，上单调递增，；所以 
(2），则
设，则，
当单调递减，当单调递增，
所以
所以.所以实数的取值范围为.
(3）问题等价于证明，
由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，易知
，当且仅当时取到，
从而对一切，都有成立.
考点：1.用导数研究函数的单调性；2.通过单调性求最值；3.不等式恒成立问题.