Question

已知α∈(

π

2

，π)，且sin（π-α)+cos(2π+α)=

2

3

+cos（2π+α）=

2

3

求证：（1）sinα-cosα；
（2）tanα；
（3）sin³(

3π

2

-a)+cos³（

π

2

-α)的值．

Answer 1

分析：（1）由已知利用诱导公式化简 sinθ+cosθ=

2

3

，平方可得sinθcosθ 的值，然后求解sinθ-cosθ．
（2）通过方程组求出sinα，cosα，然后求解tanα．
（3）由诱导公式化简，通过立方差公式得 sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ ），运算得到结果

解答：解：（1）∵sin（π-α)+cos(2π+α)=

2

3

+cos（2π+α）=

2

3

∴sinθ+cosθ=

2

3

，平方可得  2sinθcosθ=-

7

9

，∵α∈(

π

2

，π)
∴sinθ-cosθ=

(sinα+cosα)2-4sinαcosα

=

2 9 + 14 9

=

4

3

．
（2）sinθ+cosθ=

2

3

，sinθ-cosθ=

4

3

．∴sinα=

4+ 2

6

，cosα=

2 -4

6

，
∴tanα=

4+ 2

2 -4

=

9+4 2

7

．
（3）sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ ）=

4

3

×(1-

7

18

)=

22

27

．

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，求出sinθcosθ=-

7

18

，是解题的关键．