Question

（1）已知-

π

2

＜x＜0，sinx+cosx=

1

5

，求sinxcosx和sinx-cosx的值．
（2）已知tanα=2，求2sin²α-3sinαcosα-2cos²α的值．

Answer 1

分析：（1）对sinx+cosx=

1

5

进行平方，结合sin²x+cos²x=1，可直接求得sinxcosx的值，由于-

π

2

＜x＜0，可知sinx-cosx为负，故由(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=

49

25

开方即可求得sinx-cosx的值．
（2）本题知道角的正切值，由于要求值的表达式是一个齐次式，故可以把分母上的1变形，用1的变换，结合商数关系把2sin²α-3sinαcosα-2cos²α变成tanα的函数，将2代入即可求值．

解答：解：（1）∵sinx+cosx=

1

5

，
∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=

1

25

，
∴sinxcosx=-

12

25

；
(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=

49

25

，
∵-

π

2

＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0
∴sinx-cosx=-

7

5

（2）原式=

2sin2α-3sinαcosα-2cos2α

sin2α+cos2α

=

2tan2α-3tanα-2

1+tan2α

=

2×22-3×2-2

22+1

=0

点评：考查三角函数的公式变换，本题主要用到了平方关系，商数关系，是三角函数中的一道基本题型．