Question

已知-

π

2

＜x＜0，则sinx+cosx=

1

5

．
（I）求sinx-cosx的值；
（Ⅱ）求

3sin2 x 2 -2sin x 2 cos x 2 +cos2 x 2

tanx+cotx

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把sinx+cosx=

1

5

两边平方求得sinxcosx的值，进而根据∵（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx求得（sinx-cosx）²=，进而根据-

π

2

＜x＜0确定sinx-cosx的正负，求得答案．
（Ⅱ）先把原式中的正切转换成弦，进而根据倍角公式化简整理，把（1）中求得的sinxcosx和sinx-cosx代入即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由sinx+cosx=

1

5

，平方得sin²x+2sinxcosx+cos²x=

1

25

，
即2sinxcosx=-

24

25

．
∵（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=

49

25

．
又∵-

π

2

＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0，
故sinx-cosx=-

7

5

．
（Ⅱ）

3sin2 x 2 -2sin x 2 cos x 2 +cos2 x 2

tanx+cotx

=

2sin2 x 2 -sinx+1

sinx cosx + cosx sinx

=sinxcosx（2-cosx-sinx）
=（-

12

25

）×（2-

1

5

）=-

108

125

点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．要特别注意函数值的正负号的判定．