Question

【题目】已知椭圆C：（）的离心率为，且过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过坐标原点的直线与椭圆交于M，N两点，过点M作圆的一条切线，交椭圆于另一点P，连接，证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据椭圆的离心率为，且过点，由，，结合求解.

（2）当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为或，验证即可. 当直线斜率存在时，设直线的方程为，根据直线与圆相切，得到，设，，则，联立，由弦长公式求得 ，然后由两点间的距离公式，将韦达定理代入求得即可.

（1）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为，且过点.

所以，，又，

解得，，

所以椭圆C的方程为：.

（2）①当直线的斜率不存在时，依题意，可得直线的方程为或.

若直线：，直线：，可得，，，

则，，所以；

其他情况，由对称性，同理可得.

②当直线斜率存在时，设直线的方程为，

∵直线与圆相切，

∴圆心O到直线的距离为，即，

设，，则，

联立，消元y，整理得，

则，.

∴，

∵，

，

∴.

∵，

∴.

综上可知成立.