题目内容
【题目】已知椭圆C：
（
）的离心率为
，且过点
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过坐标原点的直线与椭圆交于M，N两点，过点M作圆
的一条切线，交椭圆于另一点P，连接
，证明：
.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）根据椭圆的离心率为
，且过点
，由
，
，结合
求解.
（2）当直线
的斜率不存在时，可得直线的方程为
或
，验证即可. 当直线斜率存在时，设直线的方程为
，根据直线与圆相切，得到
，设
，
，则
，联立
，由弦长公式求得 
，然后由两点间的距离公式，将韦达定理代入求得
即可.
（1）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为，且过点.
所以，，又，
解得
，
，
所以椭圆C的方程为：.
（2）①当直线的斜率不存在时，依题意，可得直线的方程为或.
若直线：，直线
：
，可得
，
，
，
则
，
，所以
；
其他情况，由对称性，同理可得.
②当直线斜率存在时，设直线的方程为，
∵直线与圆
相切，
∴圆心O到直线的距离为
，即，
设，，则，
联立，消元y，整理得
，
则
，
.
∴
，
∵
，
，
∴
.
∵
，
∴
.
综上可知成立.
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