Question

直角坐标系xoy中，点（2，-2）在矩阵M=

0   1 a   0

对应变换作用下得到点（-2，4），曲线C：x²+y²=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C′，
（1）求曲线C′的方程．
（2）求矩阵M的特征值和特征向量．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：矩阵和变换

分析：本题（1）可利用已知点在矩阵作用下点的坐标，得到关于参数的方程，解出方程求出矩阵，再通过矩阵变换得到点的变化关系，用代入法求出曲线的方程；（2）通过特征多项式求出特征值，再通过方程组求出相应的特征向量．

解答：解：∵点（2，-2）在矩阵M=

0   1 a   0

对应变换作用下得到点（-2，4），
∴

0 1 a 0

2 -2

=

-2 4

，
∴2a=4，
∴a=2．
设曲线C上一点P（x，y）在矩阵M对应变换作用下，对应曲线C′上一点P′（x′，y′）．
∵

0 1 2 0

x y

=

x′ y′

，
∴

y=x′ 2x=y′

，
∵曲线C：x²+y²=1，
∴

y′2

4

+x′2=1，
∴曲线C′的方程为x2+

y2

4

=1．
（2）矩阵M=

0 1 2 0

的特征多项式为：f(λ)=

.

λ -1 -2 λ

.

=λ²-2．
令f（λ）=0，λ=±

2

，
当λ=

2

时，

2 x-y=0 -2x+ 2 y=0

，取x=1，则y=

2

，α=

1 2

；
当λ=-

2

时，

- 2 x-y=0 -2x- 2 y=0

，取x=1，则y=-

2

，α=

1 - 2

．
∴矩阵M的特征值为

2

，-

2

，对应的特征向量分别为

1 2

，

1 - 2

．

点评：本题考查了矩阵与向量的积、矩阵的特征值特征向量以及利用矩阵变换研究曲线的方程等知识，有一定的计算量，属于中档题．