Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，cos2x），$\overrightarrow{n}$=（sin2x，$\sqrt{3}$），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，所得函数图象对应的解析式记为g（x）．
（1）求g（x）的解析式；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c是角A、B、C所对的边，且满足a²+c²-b²=ac，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数间的恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=2sinx；
（2）根据余弦定理和正弦函数的性质即可求出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$=（1，cos2x），$\overrightarrow{n}$=（sin2x，$\sqrt{3}$），
函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
再将所得图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，所得函数图象对应的解析式记为g（x）．
∴g（x）=2sinx，
（2）∵a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
∵A+B+C=π，
∴A=$\frac{2π}{3}$-C，
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5}{3}$π，
∴f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$），
∴当2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，有最大值，最大值为2，
当2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$时，有最小值，最小值为-2．
∴-2≤f（A）≤2．

点评 本题考查二倍角的余弦，考查三角函数间的恒等变换，突出考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及与余弦定理，属于中档题．