Question

4．已知圆O的半径为3，圆O的一条弦AB长为4，点P为圆上一点，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AP}$的最大值为（　　）

• A． 16
• B． 20
• C． 24
• D． 18

Answer 1

分析 如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．利用垂径定理可得AC，可得cos∠OAB．利用向量的三角形法则计算即可．

解答 解：如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．设
则AC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴cos∠OAB=$\frac{AC}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OA}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{OP}$|cos$＜\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{OP}$＞+4×3cos∠OAB≤4×3×1+4×3×$\frac{2}{3}$=20，
当且仅当$\overrightarrow{OP}$∥$\overrightarrow{AB}$且同向时取等号，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AP}$的最大值为20，
故选：B．，

点评 本题考查了向量的数量积运算、垂径定理、向量共线定理，属于中档题．