Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2．
（1）若$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为45°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|
（2）若（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）计算|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²，再开方即可；
（2）令（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$=0，计算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入夹角公式计算．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{2}×2×cos45°$=2．
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=2+4+4=10，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²=$\sqrt{10}$．
（2）∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$=0，
即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}={\overrightarrow{a}}^{2}=2$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为45°．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式，属于基础题．