Question

设a，b，c均为正数，且a+b+c=12，则

1

a

+

9

b

+

25

c

的最小值为

27

4

．

Answer 1

分析：利用条件a+b+c=12，构造柯西不等式（1+3+5）²≤（a+b+c）（

1

a

+

9

b

+

25

c

）进行解题即可．

解答：解：由柯西不等式得（1+3+5）²≤（a+b+c）（

1

a

+

9

b

+

25

c

），
∵a+b+c=12，
∴（1+3+5）²≤12（

1

a

+

9

b

+

25

c

），
∴

1

a

+

9

b

+

25

c

≥

27

4

，
当且仅当

1 a

a

=

9 b

b

=

25 c

c

取等号，
则

1

a

+

9

b

+

25

c

的最小值为

27

4

．
故答案为：

27

4

．

点评：本题主要考查了函数的值域，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（1+3+5）²≤（a+b+c）（

1

a

+

9

b

+

25

c

）进行解题，属于中档题．