题目内容
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：ab+bc+ca≤
．
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分析：利用基本不等式可知∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，从而可得a2+b2+c2≥ab+ac+bc；再利用（a+b+c）2=1，即可证得结论．
解答：证明：∵a，b，c均为正数，
∴a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2ac，
b2+c2≥2bc，
以上三式累加得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+ac+bc），
∴a2+b2+c2≥ab+ac+bc；①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）=1≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤
（当且仅当a=b=c=
时取“=”）．
∴a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2ac，
b2+c2≥2bc，
以上三式累加得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+ac+bc），
∴a2+b2+c2≥ab+ac+bc；①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）=1≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤
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点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，考查分析转化与推理证明能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设a，b，c均为正数，且2a=log
a，(
)b=log
b，(
)c=log2c，则（ ）
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| A、a＜b＜c |
| B、c＜b＜a |
| C、c＜a＜b |
| D、b＜a＜c |